19世纪80年代,美国在世界工业生产中所占比重超过英国而居世界第一。到19世纪末这个数字已达30%,同时技术也飞速发展,发明和技术革新层出不穷,美国授予的专利权从1880年的14000件上升到1907年的36000件,也居世界首位。但是美国的科学特别是数学比起欧洲大陆远为落后,整个19世纪几乎没有一位有国际声望的美国数学家。
美国数学主要依靠向德国、法国等先进的欧洲国家学习，实现起步，办法是请进来和走出去。第一位对美国数学产生促进作用的是英国数学家西尔维斯特,他曾两次赴美,1841年曾在弗吉尼亚大学任教,因其他原因愤而辞职,不久就回到英国。1876年再次赴美,任1876年创立的约翰斯·霍普金斯大学教授,1878年创立《美国数学杂志》，是美国第一份专业数学杂志,在他的影响下,美国开始了分析理论、不变式论及代数其他方面的研究工作。1893年芝加哥举办万国博览会，借此机会美国数学家组织了一次“国际”数学家大会,克菜茵参加了大会并做了一系列报告，宣读了十几位德国数学家的成果，这在美国数学界产生了巨大的影响。
自此之后,美国的许多著名数学家都到欧洲留学，师从德国、法国的大师。如克菜茵培养的博士生范因(H.B.Fine,1858-1928),回国以后写的学院代数College Algebra,长期以来是美国的标准教材?；褂幸恍┰谂分蕹錾⑹芙逃氖Ъ宜孀?9世纪末的移民潮来到美国,成为数学领域一些学科的带头人,比如出生俄国的莱夫谢茨和查瑞斯基,以及在美国出生的第一代人维纳。但更大一批的欧洲数学家是由于希特勒的驱赶而来，也正是这一批数学家使得美国在第二次世界大战后，真正成为世界一流数学强国。
美国数学的崛起大约经历了五代人。第一代是一些学术带头人，特别是莫尔(E.H.Moore,1862-1932),在19世纪最后10年开始追随西欧,进行一些研究工作,并培养出一批学生。在当时方兴未艾的领域,如代数学及公理学方面进行一些工作?？贫?F.N.Cole,l861 1926)、米勒(G.A.Miller,1863-1951)在群论方面写了不少论文,尤其是狄克逊,在线性群方面的工作是若尔当以后最重要的发展。狄克逊和从英国来的魏德本对线性结合代数的研究,在历史上起着重要的作用。在公理学方面,随着希尔伯特《几何学基础》的问世而掀起的一个公理化热潮,莫尔、狄克逊及亨廷顿把抽象代数各种结构(如群、环、域等)真正加以公理化。
第二代的数学家开始为美国数学在世界上争得一席之地,老伯克霍夫在1913年解决庞加莱的最后猜想,使欧洲数学家大为震惊,从此开创“动力系统”这一分支。伯克霍夫的学生莫尔斯(M.Morse,1892-1977)大大扩张了他的工作,开创了大范围变分法即莫尔斯理论,直接影响20世纪50年代拓扑学大发展。美国数学界另一位领袖人物是美国拓扑学的奠基者之一的维布仑(O.Veblen,1880-1960)。在这期间,美国的拓扑学人才济济,在世界上占有重要地位。如莱夫谢茨(S. Lefschetz,1884-1972)、亚历山大(I.W.Alexander,1888-1971)以及莫尔(R.L.Moore,1882-1974)的工作对美国未来数学的发展有着重大影响。在分析方面,维纳的工作(如陶布型定理、布朗运动等)以及道格拉斯关于普拉托问题的解决都引起了欧洲数学家的注意,道格拉斯因此也荣获1936年首次颁发的菲尔兹奖,在微分几何学及变分法方面也有相当多的数学家在研究。而在其他领域,仍是欧洲数学占优势。
第三代数学家是在第二次世界大战前后成长起来的。由于欧洲政治、经济不稳定,随着欧洲许多大数学家移居美国,欧洲数学逐渐衰落,使得美国开始走上数学大国的道路。除了从欧陆来的大数学家冯·诺伊曼、外尔、诺特、库朗、阿廷、西格尔、哥德尔、魏伊、薛华荔、布劳尔等,美国这一代数学家也有突出表现,如斯通(M Stone,1903-1989),他们不仅在泛函分析等领域有杰出贡献,而且使芝加哥大学成为美国数学中心之一。惠特尼、斯梯恩洛德(Steenrod 1910-1971)及麦克莱恩在拓扑学与同调代数方面贡献突出。小伯克夫奠定格论的基础,他们都是后来美国数学界的领袖人物。
在国外移民来美的大数学家及本国培养的数学家的共同努力下,第四代数学家开始使美国数学从50年代起在各个领域处于全面领先地位,而且形成一些重要的中心,影响着其后数学的发展,最突出的贡献如米尔诺(J.Milnor,1931-)、鲍特(R.Bott 1923-2005)、斯梅尔(S.Smale 1930)等在微分拓扑学及代数拓扑学取得的突破;台特(J.Tate 1925-1992)、朗兰兹(R.Langlands,1936-)对代数数论的贡献;费特(W.Feit,1930-2004)、汤姆逊(J.G.Thompson,1932-)证明柏恩塞德猜想,直接打开有限单群分类的大门,此外,科恩(P.Cohen,1934-200)证明连续统假设的独立性;哈瑞什钱德拉(Harish Chandra,1924-1984)在李群表示论、波莱尔(A.Borel,1923-2003)在代数群论方面的工作,均开辟了新方向,在查瑞斯基和魏伊的影响下,代数几何学的新方向形成,曼福德( Mumford1937-)、广中平祐(H. Hironaka,1931)、格罗登迪克(A. Grothendick,1928-2014)都受到他们的影响。
第五代美国数学家是战后出生,在20世纪70年代80年代崭露头角的一代,这一代人在良好的生活环境及教育、学术环境下成长起来。美国数学教学科研体制形成、教学质量的提高,学生数量的增长、交通方便、交流频繁、多个中心形成,使美国数学在世界上无疑处于首屈一指的地位。在这种条件下,自然可以期望美国数学家取得许多重大成果。如低维拓扑学、数论、微分几何学、有限群论等学科,美国数学家都遥遥领先,在应用数学方面,美国数学也取得多方面的进展。美国作为一个极具包容的国家，从数学发展这一斑，便能看出为何美国能够成为门类齐全、人才济济的数学超级大国。
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