数学之趣

关于数学,我们学了十几年,大概印象就是几何,方程式等等。大都是被考试折磨到觉得这东西一点都不可爱。通过《思考的乐趣》之生活中的数学,让我们认识到数学在生活中也是有有趣的一面。

概率论与说谎

关于概率有个贝叶斯定理,它的直观意义就是,当你获得了一个新的信息,你对原事件的看法所做的改变。举例说为了让人们相信事件A没有发生,作为伪证的事件B一定要具有这样的性质,它本来很可能发生,但伴随着事件A一起发生就很不可思议了。悬疑剧情里通?;嵊玫缬捌崩醋魑囟ㄊ奔洳辉诔〉闹ぞ荩顺浞掷谜飧鑫敝?,我们可以从以下三个方面入手:(1)不要轻易拿出证据,故意做出没法给出证据的样子,让人越来越坚信在事件A发生后,还能给出证据B的概率有多么小。(2) 增加证据B的条件,平时做好铺垫工作,长期保存电影票根,经常提起自己保留纪念物的喜好,让人们相信证据本身的存在并没有什么特殊或故意。(3)努力提高自己在别人心目中的人品形象,不至于让人凭直觉首先猜测到你。这些在小说《嫌疑人X的献身》有精确的描述。

找东西背后的概率问题

各种违反常理的错觉图片和数学事实告诉我们,直觉并不可靠。其实这本身就是一种错觉。比如说我们丢了东西,找遍所有的地方后坚信在某个地方,但往往有时候恰恰在你最先找的地方。因为目标范围的降低会增加你心里的期望值,期望值的增加增加你寻找的认真程度,写到这想起《我的父亲母亲》找发卡那一段也正符合这个现象。

设计调查问卷的艺术

这里要解决的是从理论上保证个人隐私绝对不被泄露,让每个人都能放心地填写,并且问卷收回后能够得到一个准确的统计结果。有这么一个方案,发给每个问卷作答者一枚一元钱的硬币,对于指定隐私项目,请填写人投掷一次硬币:若正面朝上,则如实填写个人真实情况;如果反面朝上,那就再投掷一次,正面选“是”,反面选“否”。如果有人第一次就投掷到正面的话,完全可以假装再投掷一次来掩人耳目?;厥瘴示砗笪颐歉萦脖艺疵娉鱿值母怕世床馑愠鋈缡祷卮鸷捅黄然卮鸬母怕?,从而得到最终的结果。

统计数据的误区

统计数据显示,打太极拳的人和不打太极拳的人平均寿命相同。事实上,太极拳确实可以强健身体,延长寿命。但打太极拳往往是体弱多病的人,这一事实给统计数据带来了虚假的独立性。
有虚假的独立性数据,就有虚假的相关性数据。统计数据显示,去救火的消防员越多,火灾损失越大。仔细想一下就会明白:正因为火灾损失大,才会有很多人去救火。因果关系颠倒了。数据只能显示两件事情有相关性,但并不能告诉你他们内部的逻辑关系。
事实上,两个在统计数据上呈现相关性的事件,有可能根本就没有因果关系。统计数据表明,手指越黄的人,得肺癌的概率越大。但事实上,手指的颜色和得肺癌的概率之间显然没有直接的因果联系。而是因为,手指黄和肺癌都是由吸烟造成的,于是又营造出一种虚假的相关性。
现实中的统计数据还会表现出一些更加复杂反常的现象。辛普森悖论是统计学中最有名的悖论:各个局部表现都很好,合起来一看反而更差。

为什么人们往往不愿意承担风险?

选择工作时,面对底薪+提成,和稳定的工资,大部分人趋于选择后者,因为收入本身并不重要,我们关心的是它能带给我们的好处,或者说是带来的幸福感、满足感。经济学中用“效用”这个词表达这种主观上对收益的评估结果。

有个重要的假设:收入的边际效用是递减的,换句话说,增加同样多的收入,低收入者主观上会感觉自己收益了很多,本来就是高收入的会觉得这点收入算不了什么。因此,经济学中有这样一个定理:如果一个人认为自己的边际效用是递减的,那么这个人就是一个风险规避者。对于期望收入相同的两件事情,他更愿意去做风险更小的哪一件。

关于消费税的问题。

市场供给和需求有一个平衡线叫市场均衡线,消费税若向卖方征收,会降低市场均衡价,向消费者征收则会降低销量,无论如何都会降低市场均衡线。所以无论是向哪方征税,对于市场来说都是一样的,消费税是由两方共同承担,对于承担多少则是由价格和数量的斜率决定。

市场定价问题。

传统定价策略有一个巨大的缺陷:不管你把价格定到多少,你都觉得不好——价格再高点或许就能从某些买家手里赚到更多,价格再低点或许就能赢来一些新的买家。为了应对这个问题,为不同消费者制定不同价格的策略就叫做“价格歧视”。比如说移动流量包套餐,以及麦当劳肯德基的优惠券、景区门票等都属于价格歧视,有效的区分了目标群体,既能从高端群体里获得更多利益,又能对有价格敏感的群体提供优惠而不丧失产品的品质和品牌形象。

对于市场两部分定价往往获利更多。以游乐园的过山车为例,因为价格和消费次数成反比,在这个三角截距下,无论如何定价收入价格*次数都只是个长方形,无法获得长方形上面的三角形部分。如果把三角形部分作为固定的门票价格,则就能完全获得设备使用的全部收益。然后我们根据图形测算面积可以得出:当过山车价格定得和成本价格一样时,然后以此时上方的三角形面积作为门票图形面积最大,收益也最大。

公用品的过度使用问题

以草原过度放牧为例,如果是私人使用会合理规划达到理论最优质,但是如果是一个公共牧场,就会超过最优质,最终每个人都得不到好处。因为对于个人来说关心的并不是整体,只要增加的收益大于他的成本,对于她来说都是有利的,最终超过数量的平衡点时,收益会趋近于成本,此时大家都无利可图??吹秸飧鑫侍?,忽然想起年初携程收购百度去哪儿,一方面是减少竞争,另一方也是保持了市场掌控力,更好的规划旅游市场。

关于密码与安全

电视剧里经常有这样的场景,把一份秘密文件发给X个人,每个人持有密码的一部分,要全部抓获X个人,才能破获文件,保密性非常强;但这也有一个隐患:只要有一个人被抓,剩下的人则也无法获得文件内容。有一个秘密共享方式即(3,5)门限方案,意思是假如分成5个人持有密码信息,至少有3个人在场才能解开密文。具体方法就是把文件密码设置为3个数X,Y,Z,然后编写5个与X,Y,Z有关的一次方程,并把这5个方程分别交给5个人。这是对平面方程的运用。

公平分割的问题

要想实现理想分割,双方需要完全公开自己的信息,并且充分信任对方。但实际中,因为角度出发点不一样,往往会出现各种问题,从两个人的“你来分,我来选”到三个人的“免嫉妒分割”—(又叫赛尔弗里奇-康威算法。首先,A把蛋糕分成3等份,若B认为三块蛋糕中两块较大的是一样大,则按CBA顺序选择,这等同于先分后??;若B认为三块大小不一,则由B把最大的切去一块等同于中间大小那块,有一个限制A不选被剪切的那块,仍按CBA顺序选择,第一轮选择被修剪蛋糕的人一定在B C之间假设其为X,另外一人为Y第二次再按XAY的顺序选择,则就实现了免嫉妒的公平分割,以上运用的都是数字排序。

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