介绍与背景
今天我们将从贝叶斯概率的角度深入探讨L1和L2正则化。虽然在前篇文章中我们已经从拉格朗日对偶和权重衰减的角度介绍了这两种正则化方法，但这次我们的重点将放在贝叶斯理论的应用上。通过这种方式，我们可以更直观地理解先验概率、后验概率、最大似然估计（MLE）和最大后验估计（MAP），以及这些概念如何帮助我们更好地理解和优化机器学习模型。
L1和L2正则化简介
正则化的意义
正则化是减少过拟合的一种有效手段，它通过对损失函数进行修正来实现这一目标。具体来说，L1和L2正则化分别添加了不同类型的惩罚项，以限制模型参数的大小，从而提高泛化能力。尽管这两者的数学形式有所不同，但它们都是为了同一个目的——使模型更加稳健，能够更好地应对未见过的数据。
损失函数的重要性
损失函数是评估模型预测性能的关键指标，它不仅是一个代数或几何问题，也可以被看作一个概率问题。当我们把损失函数视为概率分布时，可以使用诸如最大似然估计等方法来进行参数估计。这为我们提供了一种全新的视角来审视模型训练过程中的各种现象。
贝叶斯视角下的机器学习
先验概率与后验概率
贝叶斯公式允许我们将已有的知识（先验概率）与新的观测数据结合起来，得到更新后的信念（后验概率）。例如，在没有看到任何实验结果之前，我们可以基于直觉或以往经验设定一个初始的概率分布；一旦有了新的证据，则可以根据贝叶斯规则调整这个分布。这种动态的学习机制非常适合描述现实世界中不确定性的变化过程。
具体例子：
先验概率：考虑抛硬币的情况，在没有进行任何实验之前，我们可能会认为正面和反面出现的概率各为50%。这是基于我们对公平硬币的一般认知。
后验概率：如果我们进行了多次实验，发现有7次正面朝上而只有3次反面朝上，那么我们应该修正之前的假设，认为正面出现的概率更大。这就是通过新信息对原有概率分布进行调整的过程。
最大似然估计 vs. 最大后验估计
传统上，人们常用最大似然估计来寻找最优解，但在某些情况下，这种方法可能会导致过度拟合的问题。相比之下，最大后验估计通过引入先验信息，在一定程度上缓解了这个问题。当样本量足够大时，两种方法的结果会趋于一致；然而对于小样本而言，后者往往能给出更为合理的答案。
详细说明：
最大似然估计（MLE）：给定一组观测数据
，MLE旨在找到使得观测数据发生的可能性最大的参数值
。即求解
。
最大后验估计（MAP）：除了考虑数据的可能性外，MAP还加入了对参数本身分布的先验假设。即求解
，其中
代表参数的先验分布。
理解似然函数与最大似然值
在讨论最大似然估计的过程中，我们需要注意区分“似然”和“最大似然值”。似然准确地说应该是似然函数，对应于多值函数，表示的是概率分布；而最大似然值则是该函数的最大值，是一个确定的概率值。正确理解这两个概念对于后续分析至关重要。
神经网络与梯度下降法的新理解
借助贝叶斯的思想框架，我们可以重新审视神经网络及其训练算法——梯度下降法。从本质上讲，每一次迭代都可以被视为对当前假设空间的一次探索，并根据反馈不断优化权重向量。在这个过程中，不仅涉及到具体的数值计算，更重要的是体现了人类认知模式的基本原理：基于已有经验和新获得的信息持续改进自己的判断。
实例解释：
- 在神经网络训练中，我们会先有一个权重系数
，然后输入
，最后得到一个输出值，再与对应的标签进行比较，得出一个概率。通过这样的方式，我们可以构建出一个关于
的概率模型，并利用贝叶斯公式对其进行优化。
总结与展望
综上所述，贝叶斯方法为理解复杂系统提供了一个强有力工具。无论是简单的线性回归还是复杂的深度学习架构，都可以从中受益匪浅。当然，要完全掌握其中蕴含的深刻哲理并非易事，但我相信随着时间推移和技术进步，越来越多的人将会意识到这一点，并将其应用于实际工作中去。
以上是基于王木头视频内容整理而成的博客。
