在互联网早期，随着网络上的网页逐渐增多，如何从海量网页中检索出我们想要的页面，变得非常的重要。

当时著名的雅虎和其它互联网公司都试图解决这个问题，但都没能有一个很好的解决方案。

直到1998 年前后，两位斯坦福大学的博士生，拉里·佩奇和谢尔盖·布林一起发明了著名的 PageRank 算法，才完美的解决了网页排名的问题。也正是因为这个算法，诞生了伟大的 Google 公司。

（上图中：左为布林，右为佩奇。）

1，PageRank 算法原理

PageRank 算法的核心原理是：在互联网中，如果一个网页被很多其它网页所链接，说明该网页非常的重要，那么它的排名就高。

拉里·佩奇将整个互联网看成一张大的图，每个网站就像一个节点，而每个网页的链接就像一个弧。那么，互联网就可以用一个图或者矩阵来描述。

拉里·佩奇也因该算法在30 岁时当选为美国工程院院士。

假设目前有4 个网页，分别是 A，B，C，D，它们的链接关系如下：

我们规定有两种链：

• 出链：从自身引出去的链。
• 入链：从外部引入自身的链。

比如图中的C 网页，有两个入链，一个出链。

PageRank 的思想就是，一个网页的影响力就等于它的所有入链的影响力之和。

用数学公式表示为：

其中（分值代表页面影响力）：

• PR(u) 是网页u 的分值。
• Bu 是网页u 的入链集合。
• 网页v 是网页u 的任意一个入链。
• PR(v) 是网面v 的分值。
• L(v) 是网页v 的出链数量。
• 网页v 带给网页u 的分值就是 PR(v) / L(v)。
• 那么PR(u) 就等于所有的入链分值之和。

在上面的公式中，我们假设从一个页面v 到达它的所有的出链页面的概率是相等的。

比如上图来说，页面A 有三个出链分别链接到了 B、C、D 上。那么当用户访问 A 的时候，就有跳转到 B、C 或者 D 的可能性，跳转概率均为 1/3。

2，计算网页的分值

下面来看下如何计算网页的分值。

我们可以用一个表格，来表示上图中的网页的链接关系，及每个页面到其它页面的概率：

根据这个表格中的数字，可以将其转换成一个矩阵M：

假设 A、B、C、D 四个页面的初始影响力都是相同的，都为 1/4，即：

经过第一次分值转移之后，可以得到 W₁，如下：

同理可以得到W₂，W₃ 一直到 W_n：

• W₂ = M * W₁
• W₃ = M * W₂
• W_n = M * W_n-1

那么什么时候计算终止呢？

佩奇和布林已经证明，不管网页的初识值选择多少（我们这假设都是1/4），最终都能保证网页的分值能够收敛到一个真实确定值。

也就是直到 W_n 不再变化为止。

这就是网页分值的计算过程，还是比较好理解的。

3，PageRank 的两个问题

我们上文中介绍到的是PageRank 的基本原理，是简化版本。在实际应用中会出现等级泄露（RankLeak）和等级沉没（Rank Sink）的问题。

如果一个网页没有出链，就会吸收其它网页的分值不释放，最终会导致其它网页的分值为0，这种现象叫做等级泄露。如下图中的网页C：

相反，如果一个网页没有入链，最终会导致该网页的分值为0，这种现象叫做等级沉没。如下图中的网页C：

4，PageRank 的随机浏览模型

为了解决上面的问题，拉里·佩奇提出了随机浏览模型，即用户并不都是依靠网页链接来访问网页，也有可能用其它方式访问网址，比如输入网址。

因此，提出了阻尼因子的概念，这个因子代表用户按照跳转链接来上网的概率，而 1-d 则代表用户通过其它方式访问网页的概率。

所以，将上文中的公式改进为：

其中：

• d 为阻尼因子，通?？梢匀?strong>0.85。
• N 为网页总数。

5，用代码计算网页分值

如何用代码来计算网页的PR 分值呢？（为了方便查看，我把上图放在这里）

我们可以看到，该图实际上就是数据结构中的有向图，因此我们可以通过构建有向图来构建 PageRank 算法。

NetworkX 是一个Python 工具包，其中集成了常用的图结构和网络分析算法。

我们可以用 NetworkX 来构建上图中的网络结构。

首先引入?？椋?/p>

import networkx as nx

用 DiGraph 类创建有向图：

G = nx.DiGraph()

将4 个网页的链接关系，用数组表示：

edges = [
  ("A", "B"), ("A", "C"), ("A", "D"), 
  ("B", "A"), ("B", "D"), 
  ("C", "A"), 
  ("D", "B"), ("D", "C")
  ]

数组中的元素作为有向图的边，并添加到图中：

for edge in edges:    
    G.add_edge(edge[0], edge[1])

使用pagerank 方法计算PR 分值：

# alpha 为阻尼因子
PRs = nx.pagerank(G, alpha=1)
print PRs 

输出每个网页的PR 值：

{'A': 0.33333396911621094, 
 'B': 0.22222201029459634, 
 'C': 0.22222201029459634, 
 'D': 0.22222201029459634}

最终，我们计算出了每个网页的PR 值。

6，画出网络图

NetworkX 包中还提供了画出网络图的方法：

import matplotlib.pyplot as plt

# 画网络图
nx.draw_networkx(G)
plt.show()

如下：

我们还可以设置图的形状，节点的大小，边的长度等属性，具体可以点击这里查看。

更多关于 NetworkX 的内容可以参考其官方文档。

7，总结

PageRank 算法给了我们一个很重要的启发，权重在很多时候是一个非常重要的指标。

• 比如在人际交往中，个人的影响力不仅取决于你的朋友的数量，而且朋友的质量非常重要，说明了圈子的重要性。
• 比如在自媒体时代，粉丝数并不能真正的代表你的影响力，粉丝的质量也很重要。如果你的粉丝中有很多大V，那么将大大增加你影响力。

本篇文章主要介绍了：

• PageRank 算法的原理。
• 简化版的PageRank 算法遇到的问题，以及解决方案：
  • 等级泄露和等级沉没。
  • 引出随机浏览模型来解决这两个问题。
• 如何用代码模拟PageRank 算法：
  • 使用了 NetworkX 模块。

（本节完。）

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