1. 小数
二进制小数：abc.def
十进制小数：a * 2^2 + b * 2^1 + c * 2^0 + d * 2^(-1) + e * 2^(-2) + f * 2^(-3)
2. 浮点表示
IEEE浮点标准用 V=(-1)^S * M * 2^E 的形式来表示一个数。
符号S决定这个数是正数（S=0）还是负数（S=1）
尾数M是一个二进制小数，范围是[0,2)。
阶码E是权重，表示2的E次幂（可以是负数）。
它们的二进制编码方式如下：
用一个单独的符号位s编码S，
用k位阶码字段exp来编码E，
用n位小数字段frac编码M。
在单精度浮点格式中（C语言的float），s=1位，exp=8位，frac=23位。
双精度浮点格式中（C语言的double），s=1位，exp=11位，frac=52位。
3. 对浮点表示的解释
（1）如果阶码exp不全为0（数值0），也不全为1（单精度255，双精度2047）时
设偏置值Bias=2^(k-1) - 1，（单精度127，双精度1023）
且exp看做无符号整数的值为e，
则exp表示阶码E的值为，E=e-Bias。
小数字段frac解释为，尾数M=1.frac，
这里隐含以1开头，小数部分是frac中的各个二进制位。
（2）当阶码exp全为0时
阶码值E=1-Bias，尾数M=0.frac，
这里不包含隐含的1。
如果此时尾数frac也全为0，s=0表示这+0，s=1表示-0。
（3）当阶码exp全为1时
若小数域frac全为0，则表示无穷，s=0表示正无穷，s=1表示负无穷。
若小数域frac非零，则表示NaN。
4. 例子
单精度格式的浮点表示：00111111101000000000000000000000
按位切分一下，0,01111111,01000000000000000000000
则s=0，exp=01111111，frac=01000000000000000000000
S=0
e=127，Bias=127，则E=e-Bias=0
M=1.01000000000000000000000=1.01
所以，V=(-1)^S * M * 2^E=1.01
转换为十进制，1 * 2^0 + 0 * 2^-1 + 1 * 2^-2 = 1.25
5. 舍入方式
IEEE浮点格式定了4种不同的舍入方式。
默认的方式是找到最近接的匹配，如果没有最接近的值则向偶数舍入。
例如，我们想将十进制数舍入到最接近的百分位，
则1.2349999舍入到1.23，1.2350001舍入到1.24（最接近匹配）
而1.2350000舍入到1.24，1.2450000也舍入到1.24（向偶数舍入）
6. 双精度格式，0.1+0.2=?
十进制0.1转换成二进制小数为0.0[0011]...
十进制0.2转换成二进制小数位0.[0011]...
其中[]表示循环小数部分。
表示成双精度浮点格式，
（1）0.1
0.0[0011]...=(-1)^0 * 1.[1001]... * 2^(-4)
S=0，M=1.1001...1001，E=-4
1.1001...1001 1001 1，舍入（最接近匹配+向偶数舍入）
=1.1001...1001 1010，（这里进位了，关键）
则s=0，frac=1001...1001 1010，exp=-4+1023=01111111011
其中frac共52位
浮点格式为：0,01111111011,1001...1001 1010
（2）0.2
0.[0011]...=(-1)^0 * 1.[1001]... * 2^(-3)
S=0，M=1.[1001]...，E=-3
则s=0，frac=1001...1001 1010，exp=-3+1023=01111111100
其中frac共52位
浮点格式为：0,01111111100,1001...1001 1010
（3）相加
(-1)^0 * 1.1001...1001 1010 * 2^(-4) + (-1)^0 * 1.1001...1001 1010 * 2^(-3)
=(-1)^0 * 0.1 1001...1001 1010 * 2^(-3) + (-1)^0 * 1.1001...1001 1010 * 2^(-3)
0.1 1001...1001 1010
=0.1100...1100 1101 0，舍入（最接近匹配+向偶数舍入）
=0.1100...1100 1101
相加
0.1100...1100 1101 + 1.1001...1001 1010
=10.0110...0110 0111
=1.0 0110...0110 0111 * 2^1
=1.0011...0011 0011 1 * 2^1，舍入（最接近匹配+向偶数舍入）
=1.0011...0011 0100 * 2^1，（又一次进位了，关键）
最终结果为，
(-1)^0 * 1.0011...0011 0100 * 2^1 * 2^(-3)
=(-1)^0 * 1.0011...0011 0100 * 2^(-2)，小数部分共52位
=0.01 0011...0011 0100，（这里小数部分就变成了54位了）
转换成十进制，
0.300000000000000044408920985006261616945266723632812500
注：
为了能计算精确的十进制表示，
我们将(1/2)^n 表示成了5^n /10^n ，然后用10^54通分，
得到0.01 0011...0011 0100的十进制表示为，
(0 * 5^1 * 10^53 + 1 * 5^2 * 10^52 +...) / 10^54
找一个可以计算长整数的编程语言，例如Racket，可得如上结果。
#lang racket
(define str "010011001100110011001100110011001100110011001100110100")
(define num-lst
(map (lambda (chr)
(- (char->integer chr)
(char->integer #\0)))
(string->list str)))
(define num-len
(length num-lst))
(define (sum lst cur)
(if (= (length lst) 0)
0
(let [(head (car lst))
(tail (cdr lst))]
(let [(res (* head
(expt 5 cur)
(expt 10 (- num-len cur))))]
(+ res (sum tail (+ cur 1)))))))
(sum num-lst 1)
