求函数方程(二)

函数 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 满足以下的关系
f(x^3+y^3) = (x + y)(f^2(x) - f(x)f(y) + f^2(y))

求函数方程本质上可以归为搜索问题，但是和数的搜索很不相同，目前我也说不出太多本质的问题，这个题目算是很难的问题。
难在哪呢？

  • 在最初的几趟赋值法探索之后，会出现很多复杂不常见的符号堆积，杂乱无章
  • 很难找准方向——当题目变成求证 f(nx) = nf(x), n \in \mathbb{N}之后我们可能会更有方向一点，但是，因为符号和归纳推证还是存在一定的挑战

先试试赋值会得到什么

  • 令 x = y = 0, 有 f(0) = 0 \quad (1)
    这比较显然
  • 再令 x = 1, y = 0 得到 f(1) = 1 \times (f^2(1) - f(1)f(0) + f^2(0)) = f^2(1)
    即 f^2(1) = f(1) \quad (2)
    这个式子不知道有什么用，先留着
  • 令 x = y, 得到 f(2x^3) = 2xf^2(x) \quad (3)

这个形式具有了一些线性的特征，但还不是特别明确

接下来是很关键的一个替换 取 z = x^\frac{1}{3}, y = 0 那么 z^3 = x
于是
f(z^3 + y^3) = f(x) = \\ (z + 0)(f^2(z)) - f(z)f(0) + f^2(0)) = zf^2(z) = x^\frac{1}{3}f^2(x^\frac{1}{3})
即
f(x) = x^\frac{1}{3}f^2(x^\frac{1}{3}) \quad (4)

对(3)式子，可以用 z = x^3替换，得到
f(2z) = 2z^\frac{1}{3}f^2(z^\frac{1}{3}) 改变符号，用x 换掉 z, 并联合(4) ,就是
f(2x) = 2x^\frac{1}{3}f^2(x^\frac{1}{3}) = 2f(x) \quad

到这里得到的一个重要的进展
f(2x) = 2f(x) \quad (5)
足以可以引发猜测 f(nx) = nf(x) 对任意自然数可能成立

对自然数的命题，一般尝试归纳

接下我们尝试推导出 f(3x) = 3f(x)

f(3x) = f(x + 2x) = \\ (x^\frac{1}{3} + 2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})(f^2(x^\frac{1}{3}) - f(x^\frac{1}{3})f(2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3}) + f^2(2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})) \quad (6)
到了这里进一步简化是一个难点, 我搞了很久不知道从哪里着手

这里有一条弯路——
因为 (6) 不依赖 f(2x) = 2f(x) 的结论，但一般而言，归纳递推肯定是有关联的。我们从 f(2x) = 2f(x) 尝试，让 z = x^3, 那么 f(2z) = 2f(z) = 2f(x^3)
即 f(2x^3) = 2f(x^3)
在(3) 式里，还有f(2x^3) = 2xf^2(x) 从这里可以得到一个以为是新的东西
2xf^2(x) = 2f(x^3) \\ ie. xf^2(x) = f(x^3) \quad (7)
用 x^\frac{1}{3} 替换 x 就有
f(x) = x^\frac{1}{3}f^2(x^\frac{1}{3}) \quad 这和 (4) 没什么两样，仿佛撞了一个死胡同

但是我们注意这个替换 y = 2^\frac{1}{3}x 情况就迎来了转机
三次方映射是一个双射，替换等价于 y^3 = 2x^3 于是
f(2x^3) = f(y^3) = yf^2(y) = 2^\frac{1}{3}xf^2(2^\frac{1}{3}x)
另一方面 f(2x^3) = 2f(x^3) = 2xf^2(x) /*这里用了(4)式替换 f(x)*/ \\
联合两式就有
2xf^2(x) = 2^\frac{1}{3}xf^2(2^\frac{1}{3}x), \quad x \ne 0
化简
2^\frac{2}{3}f^2(x) = f^2(2^\frac{1}{3}x) \quad (8)

这里如果能够不顾符号开个根号似乎就有
f(2^\frac{1}{3}x) = 2^\frac{1}{3}f(x) \quad (9)

(9) 是很有用的，从这个关系出发可以简化（6）
所以探究一下，从(8) 到(9)的理论依据是必要的
回到 (4)式 f(x) 的符号和 x^\frac{1}{3} 的符号相同，而 x^\frac{1}{3} 与 x 符号相同，当 x= 0, f(x) = 0，当 x>0, f(x) > 0, 当 x < 0 , f(x) < 0 这就是从(8)到(9)的依据

然后从（9）式化简(6) ，有
f(3x) = (x^\frac{1}{3} + 2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})(f^2(x^\frac{1}{3}) - f(x^\frac{1}{3})f(2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3}) + f^2(2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})) = \\ (x^\frac{1}{3} + 2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})(f^2(x^\frac{1}{3}) - 2^\frac{1}{3}f(x^\frac{1}{3})f(x^\frac{1}{3}) + f^2(2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})) = \\ (x^\frac{1}{3} + 2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})(1 - 2^\frac{1}{3} + 2^\frac{2}{3})f^2(x^\frac{1}{3}) = \\ (1 + 2^\frac{1}{3})(1 - 2^\frac{1}{3} + 2^\frac{2}{3})(x^\frac{1}{3}f^2(x^\frac{1}{3}) ) = 3f(x)
注意从 (9) 显然有 f(2^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3}) = 2^\frac{1}{3}f(x^\frac{1}{3})

以上完成了 从 f(2x) = 2f(x) 到 f(3x) = 3f(x) 的推导
把这个过程一般化就得到了 f(nx) = nf(x)

简而言之就是 假设 f(nx) = nf(x) 成立然后用 n代替上面的 2 得到
f(n^\frac{1}{3}x) = n^\frac{1}{3}f(x)
然后将 f((n + 1)x) = f(x + nx)展开

接下来的方向是啥呢
猜测 对任意的 q \in \mathbb{Q} 有 f(qx) = qf(x) 然后试图证明
对任意的实数 r \in \mathbb{R} 满足 f(rx) = rf(x)
未完待续

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