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Properties of Preferences and Utility Functions

记号：

? ? ? ? 假定 $X\subset \mathbb R^n$ ， $x=(x_1,...,x_n),y=(y_1,...,y_n)$ 为两个向量

? ? ① $x\geq y$ ，即 $x_k\geq y_k,\forall k$

? ? ② $x>y$ ，即 $x_k\geq y_k,\forall k,and\;x_k>y_k,\exists k$

? ? ③ $x\gg y$ ，即 $x_k>y_k,\forall k$

定义：

????????偏好关系 $\succeq$

? ? ①为弱单调，若 $x\geq y\Rightarrow x\succeq y$

? ? ②为强单调，若 $x>y\Rightarrow x\succ y$

定义：

? ? ? ? 函数 $f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R$

? ? ①非减，若 $x\geq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$

? ? ②严格递增，若 $x>y\Rightarrow f(x)>f(y)$

定理：

? ? ? ? 假定效用函数 $u$ 代表偏好关系 $\succeq$ ，则

? ? ① $\succeq$ 弱单调等价于 $u$ 非减

? ? ② $\succeq$ 强单调等价于 $u$ 严格递增

定义：

? ? ①偏好关系 $\succeq$ 局部非餍足，若 $\forall x\in X,\varepsilon>0,\exists x^\prime\in B_\varepsilon(x),s.t.\;x^\prime\succ x$

? ? ②效用函数 $u$ 局部非餍足，若它代表一个局部非餍足的偏好关系 $\succeq$ ，

即 $\forall x\in X,\varepsilon>0,\exists x^\prime\in B_\varepsilon(x),s.t.\;u(x^\prime)>u(x)$

定理：

? ? ? ? 若 $\succeq$ 强单调，则它为局部非餍足

定义：

? ? ? ? 对 $S\subset X$ ，若 $x,y\in S\Rightarrow \alpha x+(1-\alpha)y\in S,\forall \alpha\in[0,1]$ ，则 $S$ 为凸集

定义：

? ? ? ? 偏好关系 $\succeq$

? ? ①是凸的，若

$\forall x,x^\prime,y\in X\;with\;x\succeq y,x^\prime \succeq y\Rightarrow \alpha x+(1-\alpha)x^\prime\succeq y,\forall \alpha\in[0,1]$

? ? ②是严格凸的，若

$\forall x,x^\prime,y\in X\;with\;x\succeq y,x^\prime \succeq y,x\ne x^\prime\Rightarrow \alpha x+(1-\alpha)x^\prime\succeq y,\forall \alpha\in(0,1)$

定义：

? ? ? ? 轮廓集：令 $\{y\in X:y\sim x\,\},\{y\in X:y\succeq x\},\{y\in X:x\succeq y\}$ 分别代表 $x$ 的无差异曲线，上轮廓集，下轮廓集

定理：

? ? ? ? 偏好关系 $\succeq$ 是凸的，当且仅当 $\forall x$ 其上轮廓集是凸的

定理：

? ? ? ? 回忆引致选择规则 $C_\succeq(B)=\{x\in B:x\succeq y,\forall y\in B\}$

? ? ①若 $\succeq$ 是凸的且 $C_\succeq(B)$ 非空，则 $C_\succeq(B)$ 为凸集

? ? ②若 $\succeq$ 是严格凸的，则 $C_\succeq(B)$ 为单点集

定义：

? ? ? ? 令 $C$ 为凸集，函数 $f:C\rightarrow\mathbb R$

? ? ①凹的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ②严格凹的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)> \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

? ? ③拟凹的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq\min\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ④严格拟凹的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)>\min\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

? ? ⑤凸的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ⑥严格凸的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)< \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

? ? ⑦拟凸的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq\max\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ⑧严格拟凸的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)<\max\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

定理：

? ? ? ? 若 $f(x)$ 在凸集 $S\subset \mathbb R^n$ 上二阶可导，则

? ? ①黑塞矩阵半正定 $\Leftrightarrow f$ 是凸的

? ? ②黑塞矩阵半负定 $\Leftrightarrow f$ 是凹的

? ? ③黑塞矩阵正定 $\Rightarrow f$ 是严格凸的

? ? ④黑塞矩阵负定 $\Rightarrow f$ 是严格凹的

定理：

? ? ? ? 若效用函数 $u$ 代表偏好关系 $\succeq$ ，则 $u$ 是（严格）拟凹的，当且仅当 $\succeq$ 是（严格）凸的

定义：

? ? ①偏好关系 $\succeq$ 对于单位商品是拟线性的，若 $x\succeq y\Rightarrow x+\alpha e_1\succeq y+\alpha e_1$ ，其中 $e_1=(1,0,...,0),\alpha>0$

? ? ②效用函数 $u:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R$ 为拟线性的，若

$\exists v:\mathbb R^{n-1}\rightarrow\mathbb R,s.t.\;u(x,m) =v(x)+m$

? ? ③偏好关系 $\succeq$ 是位似的，若 $\forall \alpha\geq0,x,y\in X,x\succeq y\Rightarrow \alpha x\succeq\alpha y$

? ? ④函数 $f:X\rightarrow \mathbb R$ 是 $\lambda$ 阶齐次的，若 $f(\alpha x)=\alpha^\lambda f(x),\forall \alpha\geq0$

定理：

? ? ? ? 若偏好关系 $\succeq$ 连续且位似，则它可以被连续且1阶齐次的效用函数表示

Marshallian Demand and Utility Maximization

????????消费者问题(CP)的基础假定：

? ? ①商品的消费集 $x=(x_1,...,x_K)\in X=\mathbb R_+^K$

? ? ②消费者的收入/财富 $w>0$ ，外生给定

? ? ③商品的价格向量 $p=(p_1,...,p_K)\subset \mathbb R_+^K$

? ? ④消费者的预算约束： $px\leq w$

? ? ⑤消费者的预算约束可行集： $B(p,w)=\{x\subset\mathbb R_+^K:px\leq w\}$

? ? ⑥假定偏好关系 $\succeq$ 理性连续，效用函数 $u$ 连续可导

? ? ? ? 其他假定：

? ? ①模型为完美信息

? ? ②消费者为价格接受者

? ? ③价格为线性

? ? ④商品可分

? ? ? ? 消费者最大化问题： $\max_{x\in\mathbb R_+^K}u(x)\qquad s.t.\quad px\leq w$

定义：

? ? ? ? 给定偏好关系 $\succeq$ ，则Marshallian需求函数 $x:\mathbb R_+^K\times \mathbb R_+\rightarrow\mathbb R_+^K$ 定义为：

$x(p,w)=\arg\max_{x\in B(p,w)}u(x)=C_\succeq(B(p,w))$

定理：

? ? ? ? 预算集满足如下性质：

? ? ①0阶齐次函数，即 $\forall \lambda>0,B(\lambda p,\lambda w)=B(p,w)$

? ? ②若 $p\gg0$ ，则 $B(p,w)$ 为紧集，即闭集且有界

定理：

? ? ? ? 消费者问题(CP)和Marshallian需求函数

? ? ①存在性

? ? ? ? 若 $u$ 连续且 $p\gg0$ ，则消费者问题解存在，即 $x(p,w)$ 非空

? ? ②齐次性

? ??????Marshallian需求函数为0阶齐次函数，即 $\forall \lambda>0,x(\lambda p,\lambda w)=x(p,w)$

? ? ③Walras法则

? ? ? ? 若偏好关系是局部非餍足的，则 $\forall (p,w),x\in x(p,w)$ ，我们有 $px=w$

? ? ④唯一性

? ? ? ? 若 $u$ 是拟凹的，则 $x(p,w)$ 是凸集

? ? ? ? 若 $u$ 是严格拟凹的，则 $x(p,w)$ 是单点集

定理：

? ? ? ? 假定偏好关系是局部非餍足的，Marshallian需求函数是价格和财富的可微函数，则

? ? ①价格和财富的成比例变化不影响需求函数，即

$\forall p,w,i=1,...,K,\sum_{j=1}^Kp_j\frac{\partial}{\partial p_j}x_i(p,w)+w\frac{\partial }{\partial w}x_i(p,w)=0$

? ? ? ? 将 $x_i(\lambda p,\lambda w)=x_i(p,w)$ 全微分，并令 $\lambda=1$

? ? ②一个商品价格的改变不会影响总支出，即

$\forall p,w,i=1,...,K,\sum_{j=1}^Kp_j\frac{\partial}{\partial p_i}x_j(p,w)+x_i(p,w)=0$

? ? ? ? 将 $px(p,w)=w$ 对 $p_i$ 微分

? ? ③财富的变化会导致总支出的单位变化，即

$\forall p,w,\sum_{i=1}^Kp_i\frac{\partial}{\partial w}x_i(p,w)=1$

? ? ? ? 将 $px(p,w)=w$ 对 $w$ 微分

? ? ? ? 一般地，通过构造拉格朗日函数，可得 $\frac{\partial u(x^*)/\partial x_j}{p_j}=\frac{\partial u(x^*)/x_k}{p_k}=\lambda$

? ? ? ? 得商品 $j$ 对商品 $k$ 的边际替代率 $MRS_{j,k}(x^*)=\frac{\partial u(x^*)/\partial x_j}{\partial u(x^*)/\partial x_k}=\frac{p_j}{p_k}$

Indirect Utility Function

? ? ? ? 效用最大化问题(UMP)： $v(p,w)=\max_{x\in B(p,w)}u(x)$

? ? ? ? 由 $x(p,w)=\arg\max_{x\in B(p,w)}u(x)$ ，得 $v(p,w)=u(x(p,w))$

定理：

? ?????? $v(p,w)$ 有如下性质：

? ? ①0阶齐次性，即 $\forall p,w,\lambda>0,v(\lambda p,\lambda w)=v(p,w)$

? ? ②对财富严格递增，对商品价格非增

? ? ③集合 $\{(p,w):v(p,w)\leq\overline v\}$ 为凸集

? ? ④对财富和价格连续

比较静态分析：

? ? ? ? 假定函数 $v(q)=\max_{x\in\mathbb R}f(x;q)$ ，其中 $q\in\mathbb R$ 为参数，它的解 $x(q)$ 为连续可微函数，则有：

$v^\prime(q)=\frac{df(x(q);q)}{dq}=\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial q}+\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial x}\frac{dx(q)}{dq}=\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial q}$

? ? ? ? 其中第一项为直接影响，第二项为间接影响，且有一阶条件 $\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial x}|_{x(q)}=0$

包络定理：

? ? ? ? 考虑等式约束最大化问题：

$v(q)=\max_{x\in\mathbb R^K}f(x,q)\qquad s.t.\quad g_m(x,q)=b_m,m=1,...,M$

? ? ? ? 则有：

$Dv(q)=D_q\mathcal L(x^*,\lambda;q)=D_qf(x^*;q)-\sum_{m=1}^M\lambda_mD_qg_m(x^*;q)$

Roy等式：

? ? ? ? 由包络定理，得：

$\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}=\frac{\partial\mathcal L(x^*,\lambda;p,w)}{\partial w}=\lambda,\frac{\partial v(p,w)}{\partial p_k}=\frac{\partial\mathcal L(x^*,\lambda;p,w)}{\partial p_k}=-\lambda x_k^*$

? ? ? ? 联立得 $x_k(p,w)=-\frac{\partial v(p,w)/\partial p_k}{\partial v(p,w)/\partial w}$

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Marshallian Demand and Utility Maximization

Indirect Utility Function