为什么?
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这个问题涉及到离散傅里叶变换（DFT）的性质。首先，我们来解释一下公式中的符号：
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是一个离散信号。
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是 DFT 的基底，定义为
。
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和
分别是
次幂和
次幂。
-
我们需要计算的是以下表达式：
我们可以将这个双重求和表达式重写为：
这是因为 ( x(m) ) 与 ( n ) 无关，所以可以将 ( x(m) ) 提出内层求和。现在，我们关注内层求和：
根据 DFT 的性质，我们知道 ( W_N{nm}W_N{nk} = W_N^{n(m+k)} )。因此，内层求和可以写为：
这个求和是一个几何级数，其和为：
由于 ，所以
。因此，求和结果为：
如果 ( m+k \equiv 0 \mod N )，则 ( W_N^{m+k} = 1 )，求和结果为：
因此，内层求和的结果是：
其中 ( \delta_{m+k, 0 \mod N} ) 是克罗内克函数，当 ( m+k \equiv 0 \mod N ) 时为 1，否则为 0。
将这个结果代入外层求和，我们得到：
这个求和只在 时有贡献，即
。因此，最终结果为：
所以，原表达式的结果是：
- 这是因为 x ( m ) x(m) 与 n n 无关，所以可以将 x ( m ) x(m) 提出内层求和。详细解释？一开始的顺序是
，但是现在顺序变成了先
后
，这是为什么？
- 在数学中，双重求和的顺序可以互换，只要求和的范围和条件保持不变。这是因为求和操作是可交换的，即对于任意的
，都有：
在我们的问题中，。由于
与
无关，我们可以将
提出内层求和，即：
这样的变换是合法的，因为求和的顺序可以互换，且 (x(m)) 与 (n) 无关，所以可以将其提出内层求和。这种变换在数学中是常见的，可以简化计算过程。
- 那么二重积分的顺序可以随意互换吗
- 在数学中，二重积分的顺序在一定条件下可以互换。这个条件是被积函数在积分区域内连续，且积分区域是矩形区域或者可以表示为两个变量的函数的交集。如果满足这些条件，那么二重积分的顺序可以互换，即：
如果积分区域不是矩形区域，或者被积函数在积分区域内不连续，那么二重积分的顺序可能不能互换，或者互换后结果不同。在这种情况下，需要使用其他方法来计算二重积分，例如使用极坐标变换或者格林公式等。
因此，二重积分的顺序在一定条件下可以互换，但需要满足一定的条件。在实际应用中，需要根据具体问题来确定是否可以互换积分顺序。
也就是说，二重积分的互换与二重求和的互换不同，二重求和的互换更为随意，对吗
是的，二重积分的互换与二重求和的互换确实有所不同。二重求和的互换通常更为随意，因为求和操作是离散的，且求和的顺序不会影响求和的结果。只要求和的范围和条件保持不变，求和的顺序可以互换。
而二重积分的互换则需要满足一定的条件，例如被积函数在积分区域内连续，且积分区域是矩形区域或者可以表示为两个变量的函数的交集。如果满足这些条件，那么二重积分的顺序可以互换。如果积分区域不是矩形区域，或者被积函数在积分区域内不连续，那么二重积分的顺序可能不能互换，或者互换后结果不同。
因此，二重积分的互换比二重求和的互换更为复杂，需要更多的条件和考虑。在实际应用中，需要根据具体问题来确定是否可以互换积分顺序。
