无理数的出现和确认，是数系的第三次扩张。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的Hippasus, 对“比例中项”问题很感兴趣，有一次一个朋友问他：“1和2这两个数的比例中项是多少？”，?Hippasus考虑了很久，没有找出答案，如果设1和2的比例中项为x，那么1:x=x:2, 可得到x^2(x的平方)=2，哪个数的平方等于2呢？是不是不存在这样的数呢？不是的，比如边长为1的正方形，根据勾股定理，对角线的平方等于两个边长的平方的和，即1^2+1^2=2，那对角线的长度就应该是平方为2的那个数，但无论如何也找不出一个平方为2的数，这意味着，边长为1的正方形的对角线是不可度量的，这个发现足以摧垮信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯学派的信念，引起极大的恐惧和不安，据说为了驱走这个异端，他们把Hippasus投进了大海。
无理数的确是容易让人不安的数，听听它的名字，无理，就是没有道理呗？无理数的英文名字是irrational number, irrational 的意思是不合理的、不合逻辑的，无理数真的是这个意思吗？当然不是啦，rational（有理的，合逻辑的，有理数） 来自拉丁文，它的本意应该是ratio-nal, 意思是成比例的，（碰巧每一个有理数都能用两个整数的比例的形式即m/n来表示）。因为人们一直用irrational指代无理数，所以就一直沿用下来了。
无理数于公元前5世纪被人类发现后，人们对它的探索就一直没有停过，中国人和印度人的态度是用它的近似值来计算，十六世纪上半叶，欧洲人对待无理数的态度也大致如此。不过在用十进制小数表示无理数时，人们发现“它们无止境的往远跑”。1886年，Otto Stolz 得出了一个很有意义的结论：每一个无理数都可以表达成不循环小数，这实际上就是我们现在对无理数的定义。
后来人们又发现了更多的无理数：
人们发现，无理数也有无穷多个。
经过19世纪许多数学家的努力，无理数的逻辑结构得以真正建立。
无理数的发现是数学乃至科学上极其重要的事件，使人们对“数”的认知大大前进了一步。
