行变换
定理 3（行变换）
令
是一个方阵。
若的某一行的倍数加到另一行得矩阵
，则
若的两行互换得矩阵，则
若的某行乘以
倍得到矩阵，则
计算
，其中
解：
交换第2行与第3行时行列式取反号，即
(3)(-5)%3D15)
计算，其中
解：第一行提出共因子2，再进行行化简。
(3)(-6)(1)%3D-36%5Cend%7Baligned%7D)
若一个方阵通过行倍加和行交换化简为阶梯形
，且次过程经过了
次行交换，则定理 3表明%5E%7Br%7Ddet%20%5C%3B%5Cboldsymbol%7BU%7D)
。由于是阶梯形，故它是三角阵，因此
是主对角线上的元素
的乘积。若可逆，则元素
都是主元；否则，至少有
等于零，乘积为零。从而有以下公式：
%5E%7Br%7D%20%5Ctimes%20(%5Cboldsymbol%7BU%7D%E7%9A%84%E4%B8%BB%E5%85%83%E4%B9%98%E7%A7%AF)%20%26%20%E5%BD%93%5Cboldsymbol%7BA%7D%E5%8F%AF%E9%80%86%20%5C%5C%200%20%26%20%E5%BD%93%5Cboldsymbol%7BA%7D%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E9%80%86%5Cend%7Bcases%7D)
注意：尽管上述中的阶梯形是不唯一的，主元也不是唯一的，但除了差一个符号外，这些主元的乘积是唯一的。
定理 4 
方阵是可逆的当且仅当
。
行列式与矩阵乘积
定理 6（乘法的性质）
若和均为
矩阵，则(det%20%5C%3B%5Cboldsymbol%7BB%7D))
。
对
，验证定理 6。
解：
(det%20%5C%3B%5Cboldsymbol%7BB%7D)%3D(6%20*%202%20-%203%20*%201)%20*%20(4%20*%202%20-%201%20*%203)%3D9%20*%205%3Ddet%20%5C%3B%5Cboldsymbol%7BAB%7D)
