????????????????????????????????????????第一课2024.9.11
数学学习的阶段：知识，能力，思维，价值观，隐形知识。
分析学三年就能毕业
范：丘成桐的东西不是搞几何分析的话没人关心好吧，你看现在哪个东西叫yau什么什么，每个数学家都在用的？没有吧？
我：Calabi-Yau Manifold
范：哦那是string theory那帮人，你千万不要学string theory。
Hirzebruch-Riemann-Roch
M紧致无边n维流形，有Hermitian度量g，E→M Hermitian向量丛，则
????????????????????????????????????????第二课2024.9.13
Spin(n):=SO(n)的万有覆盖。
eg：Spin(1)={1,-1}
? ? ? ? Spin(2)=S1
? ? ? ? Spin(3)=SU(2)=S3
? ? ? ? Spin(4)=S3×S3
? ? ? ? Spin(5)=sp(2)
? ? ? ? Spin(6)=SU(4)
（物理里SU(2)丛对应弱相互作用力）
????????Jordan 代数来源于量子力学，意外的解决了群表示论中的难题，老师提问：是否仍然有一大类未知的代数都能在群表示论中发挥作用呢？
Theorem：M允许Spin结构 iff 第一Stiefel-Whitney类w1=0
eg: 射影空间中只有是spin的.
Mumford Conjecture：
为亏格g的黎曼面，求
范老师说数学中最核心的价值观只有两个，50%空间，50%素数。（50%素数我是同意的，但是我认为空间没那么本质。数学的核心在于信息的封装与提取，每个数学结构都是一个数据结构，数学的联系无非是数据结构之间的互相导出和类型转换，是最自然的事情。难题的关键在于有些信息用现行的任何数据结构封装后都将无法提取。）
范老师着重表扬了一位很有天赋的大一非数院同学，他在高数课后问出了这样精彩的问题：有没有一个运算满足Lebniz法则，但它不是求导运算？答：联络。? ? ? ? （在我看来这位同学的思维方式之精彩，在于1关注到了求导运算的第一个非平凡的运算性质 2用关键性质去索求定义对象，跳出了追求对象的具体实现的思维方式。范老师后面也讲过，抓住理论的关键点比如Poincare对偶，没有Poincare对偶我们改理论也要让他有。关注关键性质，放弃整座已经构造好的大厦，是一种思维方式，更是一种魄力）
范老师让我宣读了真空零点能的定义。
Witten和Atiyah的故事，Atiyah(1929-2019)向Witten(1951)拜师学习。杨振宁大弟子张首晟英年早逝，哈佛华人尹希做弦论。
Spin(2m)有两个不可约复表示，和
，维数均为2^(m-1)
（我怀疑这个公式和witten指标有关。）
????????????????????????????????????????????第三课2024.9.20
（Hua-Vandier Weil 1949）
为整系数不定方程，其mod?
的解的个数记作
,
则存在C，使得.
（分析学不等式证明得到的C是存在性的。）
(Weil Conjecture, Deligne 1973)
Weil Ⅰ.????是关于t的有理函数
Weil Ⅱ.? ? ?该有理函数有分解式
Spencer Bloch把Langlands纲领推向最一般的形式。
双曲方程在拓扑学中可能有重大应用。
范畴可以看成是带类型的群，群元素配备了source和target两个类型，类型匹配了才能运算。
????????????????????????????????????????第四课2024.9.25
四维流形可单纯剖分的很少，10^56中才有一个。
时空作为流形存在一个奇点，应该用拓扑流形的观点去研究。
cup product是分次交换的，但是在链的水平上不能良定义，在链的等价类也就是上同调群的水平上则可以。（后面提到，为什么de rham上同调在链水平——即微分形式的水平上直接就有分次交换性，无需再去等价类水平上看？大谜题。）
首先发现了这里定义方式似乎不是唯一的，为什么用这个不用那个？当然是看这样子做在后续的理论中有什么无可替代的性质，同学回答：这样子可以短正合列诱导长正合列。接下来的研究思路很重要：如果你发现它们一般是不一样的，那么请找一个条件使得它们一样。操作的交换性的问题。（这是一种我暂时还有点缺乏的在发展理论时的较为实践的思维）
命题：如果存在A的一个邻域是可缩的，则（用空间偶的正合列）
对比：K(X,A)和K(X/A)的相等则不要求邻域可收缩。向量丛局部平凡性的要求避开了这些技术性困难。
（但是这里我的想法和范老师不太一样。这不能简单的归结为“K理论的优越”。首先，两套理论要想对比，它们应该是有着同一目的，或者处理同一对象。让我们看看K理论和奇异同调都干了什么，为什么可以拿来对比。K(X),H(X)，归根结底K群和同调群都是和空间X相关的一个群构造，所以K和H都是研究空间的。K是通过空间上的所有向量丛研究空间，H是通过空间上的所有奇异单形研究空间，用来探测空间所选的“探测器”种类不一样，导致了后续面临的技术性细节上存在差异。与之相对应的，胞腔理论则真正的是在构造空间，而不是在探测空间。构造性的研究方法是决定式的，构造出的对象在各方面的性质是完全决定的，而探测式的研究方法则只能决定一些方面的性质。）
相对闭链
同时写出闭链定义：
形式语言层面，对的要求由=0变为了属于某个链群，这是一次放宽，也表明我们将要忽略更多信息，凡A中的单形将不予考虑。
[0,1]用定义计算奇异同调群？链群太大了，因为自由生成的时候忽略了一切生成关系，但是本该存在一系列代表几何意义的生成关系的。
“同伦是20世纪最伟大的概念。”（自然背后的方程，方程背后的对称，对称背后的同伦。）
“代数学没有cup product”
????????????????????????????????????????第五课2024.9.27
同调群比基本群好算。同调群背后有一套理论——hodge理论。同伦群没有。
suspensiion下stable的理论是好的理论。
·（Atiyah-Bott）
存在一种Z2 作用在S2上的方式，使得商空间不同胚与RP2，但同伦于RP2.
????????????????????????????????????????第六课2024.10.9
同调论比拓扑空间重要！
“几何分析就是倒退”我不同意。
“代数几何就是语言translation，可计算的少”
“代数学没有眼睛”
paritial star的几何意义。
本科生和研究生阶段要消化20世纪数学的主要涵义。
一般计算同调群就是分割取MV，你没有别的办法。
（上课讲到jordan curve定理，我突然意识到：自己虽然被讲了这个定理的证明，但是我真的吸收了吗？我真的能发自内心的理解到这个定理就是要这样证，很自然了吗？没有。在这个定理上我是被知识提溜着认识往前走的。有的时候宁愿自己慢一点。尽管有些东西别人都学了，自己没学，但是能从自己的动机出发，能发自内心的领悟一个历史上的重要问题的解决思路，是对数学成长更为有益的事情。）
黑洞的维数？
Freedman，将四维流形的二维同调群配对，得到相交形式，对该形式从整数二次型的方面去研究。
Donaldson，若M4有光滑结构，则相交形式是 对角型。从而推出很多四维流形没有光滑结构。
? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???? ??第七课2024.10.11
Question：寻找最小的f(n)，使得P^n可以嵌入R^f(n).
Lie群的切丛平凡，因为可以用群运算搬运。
4阶群有几个？八阶群有几个？（各个领域要积累最基本的例子。拿到一个抽象命题就可以上手检验）
数学的Language会随时代变，但是真正有内容的数学是永恒的主题。
Fourier级数真正把古典分析提升到现代分析的层面。分析学就看《Hormander》。
（老师在12.27日说，欧拉时代的人不可能看到傅里叶级数，为什么？因为它用an离散信息编码了f(x)连续信息。是surprising的现象。我：那泰勒级数也是一种离散信息代替连续信息？老师：但是泰勒级数是光滑的，要求很高，函数值的变化不是任意的。但是傅里叶级数改变若干个点不改变结果。泰勒和傅里叶是完全不的思维方式。）
书上的观点：“Abstract Funtional Analysis is for solving PDE”.一个方程用一个特定的范数，这样的结果是sharp的。熟悉的max范数是universal的，但是universal的东西就weak。（这是普遍的哲学，因地制宜、具体问题具体分析。）
我向老师提出张恭庆老师的书《泛函分析讲义》上就有对一个方程构造特定范数的简单习题。老师夸了张恭庆老师，并介绍《infinite dimensionall morse theory》
Lefschetz不动点是伟大的定理，没有这个定理我们的同调理论要打折扣。
Brouwer的数学哲学限制了他。（Brouwer是直觉主义的领军人物。平行的还有希尔伯特的形式主义，罗素逻辑的主义，后续的布尔巴基的结构主义。）他的不动点定理是借助于连一条线这种明显的构造式方法。那么在非凸的区域就不能实现，但是凸性并不是拓扑条件，所以当时的Brouwer并没有看到自己的定理的拓扑学实质。然后老师表扬了我的数学哲学很不错，其实我只是有初步的思考萌芽，并不敢当。
（另一个坚守数学哲学理念，以至于影响到数学工作中的实践的例子是Weyl。他也是直觉主义者，认为小平邦彦在论证中使用Hilbert空间是“不安全”的因素，自己也因此有些工作没有发表。但其实在学界这并不被广泛认为构成一个缺陷，它坚守自己内心的数学哲学）
老师说，解析数论的某些结果可以成为A-S定理的推论。（？如何达成的）
小结已有的结果：
1Maxwell方程，dF=0推广到d，我们丧失了分析学不等式，但是得到了边界算符.
2同伦不变性
3?suspension运算，一个理论好计算=Σ下稳定+同伦不变，见广义上同调
4 一些应用
5 商 good pair条件下商空间的同调群和相对同调群是统一的.为什么这样的结果是有意义的？因为动力系统面临很坏的拓扑空间。一同学答曰：那就不要学动力系统?。?？众皆笑。老师继续提到K-theory，拿掉了技术性约束，对于任意pair(X,A)，相对K群和商空间的K群无条件相等。“K理论是真正的大范围拓扑学”
? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???第八课2024.10.18
Serre：R[x]上的自由模一定Projective吗？Quillen：√
多项式环的K理论是平凡的。
Quillen：
从对称群构造群代数，用群代数里的元素做成n维可逆矩阵，这是一个拓扑群，其分类空间的同伦群是有涵义的。
={pt}.
是流形，而且可以视作任意维度的流形，在配边理论中充当单位元.
的同调是0，简约同调没有定义。
约定
MV的一个反例：取拓扑正弦曲线并上x负半轴。
是CW复形，
不是，因为不是离散的
? ???????????????????????????????????????????第九课2024.10.23
Given Group G，we can construct：
1，K(G,n)?
2，BG
3，BGL(R[G])
单点并是一个同伦概念，单点并后同胚型不一定一样，想象和
芝加哥讨论班上，Spencer Bloch vs Weinberger? ? “A Piece of Algebra.”? ?"Write it down".
《stratified space》
单纯形有顶点，好定义上积。没有上积，还搞什么上同调？
? ??? ???????????????????????????????????????第十课2024.10.25
把P^n的第一个特征映射写出来。
S^n的南北坐标卡不是定向的。P^n的呢？P2和P3的是情况不一样的。要动手算一下。
模论很复杂，Projective，Injective，Flat 我们拓扑学全都自由模！
《Stratified Morse Theory》Macphersm
故事：
,因为A保持模长，所以A限制在
的子空间S^n上时，A可以被看作自映射:
，这可以看成一个S^n上的纤维丛，于是有?????
，
这诱导长正合列? ? ? ? ? ??
范老师说：代数几何有很多school，Variety看成Scheme是其中一种。（“看成”这个词是十分重要的，它不等同于“就是”，也不等同于“属于”，这表明Scheme的形式化只是一种研究代数几何的方法？）
“Perelman看他不知道，暗自高兴，把工作辞了”
学习不能坐在飞机上下不来，从北京飞上海，不知道还有河北。
Sullivan认为流形的核心是Poincare Duality和WhitneyEmbedding
Euler数是奇迹，诸多组合量中找到一个同伦不变的。
May：Projective spaces and? are beautiful，
is ugly，forget about it！
? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十一课2024.11.1
链复形的tensor。
要处理很多函子的次序问题：Hom,,H*
简单提到了Localilze和Globalize。对于空间X，构造，使得
?（后面介绍Sullivan的书《Galois Symmetry》）
cup product和Fubini定理是有类比的。
可以通过叉积定义上积，但是不好计算。
dx dy在链水平上就有分次交换，为什么？
（任何一个拓扑空间上的构造F，总是去研究F和乘积空间、商空间、并、交等等拓扑空间的运算是如何相容的。这是一种普遍的方法。）
有序单纯形，有向单纯型
作为向量，位置是有意义的；
作为集合，位置是无意义的。
单形的向是一个等价类，是mod 偶置换
0单形只有一个向，其他均有2个。
定义中有一个分量是重复的，这就强烈的体现出序的重要性。
反例：
尽管最左和最右涉及到的和
作为定向单形是一样的，相差一个偶置换，但是其在上链的cup product下取值却不一样，这就说明cup product必须要序的概念来定义，仅仅定向是不行的。
第十二课2024.11.6
0单形在定义同调时不取定向。
单纯同调的定义有三种方法：1定向 2顶点序，允许重复 3universal的序
在单纯同调和CW复形上验证定向带来的符号一致性。
CW复形不能定义上同调，是理论的缺憾。
可定向：指的是可以有2个定向。
定向：已经取定一个定向。
单纯性剖分需要复习一下，比如Torus的多边形表现哪个是单纯剖分哪个不是。
0单形上的关联映射，5-10分，一定考。
Fulton Harris 《Representation...》把李群的表示很具体的写出来了。
连续函数的Fourier级数几乎处处收敛，但不收敛点集可以是不可数的，继续度量不收敛点的性质，可以采用Hausdorff维数
Global序、局部序，粘保序映射?？尚行颍ń惨迨跤铮┤艨尚行蜓∪〉牟欢裕岽覶orus算出Klein瓶的同调。
写文章一定要改符号。因为起码懂了才敢改，否则岂不是原封照抄？
第十三课2024.11.8
10.1节 Torus的例子说明了上积在链水平上不反交换，但微分流形上dx?dy在链水平上就表现出了反交换。这是为什么？
序有变化了，上积会怎么变？同一剖分，不同序，链水平上A ∪B 不一样。要求自己算一遍，考！
《complex algebraic curves》Kirwan 代数曲面的单纯剖分。计算代数几何这一学科需要使用对Variety的剖分。
北大数学系的学生“触及人类文明的顶峰”
“拓扑学好的结构一定体现在类上”（从一个结构不清晰的集合上商掉一定的关系得到了很好的结构，这一现象需要反思?；救壕褪侨绱?，商掉同伦获得群结构。）
《History of number theory》Dickson? 很多经典不定方程的历史。Serre掌握很多这方面例子。
《Galois Theory》A.Cox 有很多具体Galois群计算的例子。
“流形分类不可能通过微分几何方法解决，它们使用将torsion信息全部丢失了”，虽然获得了好处，但是损失的信息再也回不来了 。
（不过我认为这个话要进一步理解——应当说流形分类的方法不能用微分几何方法最终解决，而不能说成是完全排除微分几何方法也能解决。因为分类问题到最后需要很精细的信息，但是最开始还是可以大刀阔斧的干的。用我的话说，可以先用导弹轰炸，炸碎了用锤子敲，敲的再碎用纳米刀精细切割）
和
有什么区别？具体计算做多了才能给你感觉。
林伟南球面同伦群，用计算机验算，发现多，
少，正在formalize成一个猜想。
cup product作为一个不变量也可以区分空间，cup product是有拓扑内容的。
各个学科需要1000个例子，一维二维三维四维流形，李群，代数簇，概型，Banach空间，可分Hilbert空间，低阶群的群结构，...
Donaldson: general type的代数曲线，若微分同胚，则某个亏格相同。解决了代数几何重要问题，他的理论有用。
在拓扑学中，PID已经够一般性了，我们关心的其实只有Z,Z2,Zp
????????????????????????????????????????第十四课2024.11.15
G acts on X，f(gv)=f(v)是一个invariant equation.
与群作用结合，有一门学科 Equivariant Algebraic topology.
“数学，存在，时间，必然性”
群作用下的球面同伦群，John Milnor有一个学生从事这方面工作，意外去世，Milnor停下手头工作为他整理。
有些定理的条件对流形、代数簇够用就行了，再复杂的空间没人用。（Scheme，orbifold，stack）
Spencer Bloch 用代数K理论改写数论，把langlands 推向最一般。
棱镜上同调、Etale上同调、motivic上同调，weil上同调，有Poincare对偶是个标准。
（有些东西，在某个特定情景下是逻辑上等价的，比如R上的有限覆盖、聚点定理、确界原理、Cauchy准则，但是它们代表从不同结构的视角去谈一个问题，在后续发展上是不等价的）
系数我先算点东西出来！推广到其他系数的交给学生干。（我：我不就是学生吗？）
Poincare Duality是在R^n的片上成立，然后用MV粘接起来，关键在于定向如何粘。
????????????????????????????????????????????第十五课2024.11.20
Weil vs Weyl，代表两种流派
经验派：具体数学例子为根，纵观整个数学，称的上根的一共只有十几个
理性派：按逻辑划分
老师：Bourbaki把数学各个领域完全孤立起来了。
（我认为这是完全错误的看法，这是我本门课接收到的观点中与我冲突最大的一点，也是我最想表达的一点。在我看来，布尔巴基恰好是通过结构主义给各个数学领域一个公共基础，并且显式的揭露了各个数学领域的联系是如何可能的——即结构的普遍存在性与联系性，在一种结构中可以构造出另一种结构，多种结构的共同作用导致了特定数学对象的复杂性。如果采取经验主义，说一些：“谁能想到，球面居然和素数有联系！这就是数学的深刻性！”之类的话，这其实完全把数学领域的广泛联系归为一种神秘主义，而没有对联系是如何可能的、如何实现的做出真正的诠释。）
但是经验主义是有其意义的，可以将人们的视线吸引到有数学内容的具体例子上来，如果说有十几个经典数学例子称得上”根“，那么我试图总结一下：
1 代数方程?Galois跨时代地理解到方程背后的对称，Galois群在现代数论中无比重要
2 不定方程?，到
，联系椭圆曲线与模形式，自然而深刻。
3 微分方程 Maxwell、Einstein、Schordinger、Dirac、Yang-Mills、Navier-Stokes，热方程，波动方程，隐藏在自然现象背后的方程。
4 球面 球面同伦群、球面上的群作用...对于空间最基本的理解，”正儿八经空间思维“
5?，双扭线弧长，加法公式，反函数双周期，黎曼面上的Abel-Jacobi映射，代数几何的第一个例子
6? 素数，素数分布、黎曼猜想
7 七桥问题、空间多面体、Euler数，发展为第一个组合式的同伦不变量，Euler数是一个奇迹。
8 傅里叶展开、傅里叶变换、Atiyah-Singer指标定理
9?二次型分类，基本问题，然而很难解决。
10 二次互反律（？）
（范老师有一个倾向，凡是能跟历史上的重要问题扯上关系的，就完全归结过去。但是其实现代数学的观点已经和原本的问题大不相干了，以研究原本的问题为目的是绝无可能发展出后续的现代理论的。同时现代数学也已经培养出自己新的看待“根本问题”的角度来，因此以”是否和经典问题有关“来判断现代数学问题是否重要，是有待商榷的。）
Conjecture：11/8
上有光滑结构等价于
.
在K3曲面上取到最大，并且有一种直觉：代数方式给出的拓扑空间是某种意义上最好的。
? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十六课2024.11.22
引入Poincare对偶的灵感：在R^n上看Dirac δ函数，对偶是显然的。
重要：f：M→N，为n维流形间的映射，则以下图标并不交换
? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
betti数需要系数取为整环；Euler数在PID时才与系数无关；定义deg时环需取PID；Pincare对偶对任意环都对。
? ??? ??????????????????????????????????第十七课 2024.11.29
同调采取奇异单形，Im(σ)是紧集，因此同调本质上是紧支的理论。
Torsion Part消失不是优点而是缺点，虽然好算，但是信息少了。
discrete quantum gravity？
Arnold 一元七次方程无法用椭圆函数求解。（问:添加多少特殊元素，可以使得任意n次代数方程可解？）
如果有定向，则下同调可以借助Poincare对偶，在相交的意义下获得环结构，如果没有定向，则下同调并不好。
小亏格的闭曲面映射到大亏格的闭曲面一定是deg=0.提升到poincare disk用双曲几何？
拓扑流形不一定有有限的单纯型形剖分，但是一定是这样的空间的deformation retract
PL群是PL流形上的丛的转移函数，考虑BSO(n)与BPL，可以把光滑结构存在问题等价为映射提升问题，可以在范畴角度用代数拓扑的抽象工具解决。
????????????????????????????????????????????第十八课2024.12.4
“其他全是语言，换来换去”。
C上的Mittag-Leffler问题是黎曼面上的Riemann-Roch问题的雏形，体现从局部到整体的哲学。
Laurent主部推广为一点的Stalk，Stalk是U→G的映射对U的极限。
Sheaf以MV序列为定义、扔掉同调定义。把MV提升为Theory。
1952年Serre提出,
，给了一般形式的Riemann-Roch以正确的formalize
没有±号，H*全是正负号，从这个意义上来说Cech上同调不能recover基本群。
Yang-Mills理论中，Mills只是帮杨打字了。
Van-Kampen定理的条件很难达成，要求交集道路连通，对S1取南北集覆盖就不满足。
Atiyah对于CP2 CP3具体例子的理解，一路搞到String Theory。
推荐了Atiyah论文集，Atiyah说过：“数学是什么，就在我的论文集里”
lim与H^*不交换，涉及lim1函子。Mittag-Leffler条件。
光滑流形上的所有层可以被公理化。
是在Hodge *算子下自对偶的2-形式。令
，则Maxwell方程表达为
Hodge分解：
拉普拉斯算子，从而有
.
Kodaira证明.
老师说：Einsten方程有缺憾，里面没有，没有Hodge*，想考虑黑洞里的光子，要推广hodge*
????????????????????????????????????第十九课2024.12.6
Neother性质对于子环、商环均保持。如果只是整环，对于代数几何就不够用了。
庞加莱猜想的历程：
Smale：h-cobordism
Stalling：S-cobordism
Pelerman：做出来了
Yau：Pelerman不对
Milnor：猴子在树上玩
从相交形式可以导出上积形式，奇数维和偶数维流形变得完全不同。
4l+2维流形，B非奇异反对称。典型例子如Riemann surface，Calabi-Yau
4l维流形，B非奇异对称。
=16.
如果四维流形上存在光滑结构，则，四维时符号差和光滑结构有关，但高维时光滑结构和符号差无关
代数几何中的很多例子都仅仅是.
Pontryagain class与微分结构有关，但是
与微分无关。
????????????????????????????第二十课2024.12.13 缺课
????????????????????????????第二十一课2024.12.18
自本次课开始讲K-theory，不再有考点。
有了Splitting Principle，纤维丛的K理论就归结为线丛的K理论。线丛十分重要。
Adams Conjecture，与Bernoulli number有关。最初在自然数幂和中出现，与数论产生了联系。
“不在于学的多，而在于把握引人深入的部分”——爱因斯坦
关于Adams Conj，Quillen发展出Algebraic K，Sullivan发展出局部化。把握住了深入的部分。
复系数的Bott周期是2，实系数的Bott周期是8.Atiyah说在PDE中应用8可以推出S6上的复结构。
电荷是线丛的整系数第一陈类，因而解释了其量子化现象。
Bott：任何命题对Hopf Bundle对，就对任意丛都对。
（复Bott周期律的K版本）记U=limU(n)，则存在同伦等价
核心论证思路是使用Whitehead定理：同调群相同、基本群相同推出弱同伦等价。
首先验证基本群，，同时可以计算
.所以相等。
其次验证同调群，U上的群结构给出上同调环水平的拉回
,上同调环作为Hopf代数可以完全分类，进而它们是同构.
Whitehead定理神之一手，非构造性的推出同伦，是极为强大的论证工具；Hopf代数的分类点睛之笔。
（实Bott周期律）记SO=limSO(n).则
同理，Whitehead大爹出马。
《Geometric Topology:Localization,Periodicity and Galois symmetry》Sullivan
